ООО "БПФ" Оптовая торговля цветами и другими растениями. Бпф цветы


отзывы сотрудников о работодателе, отзывы о работе

А

Абакан

Абу-Даби

Агрыз

Адлер

Азов

Аксай

Актобе

Алапаевск

Алейск

Александров

Алексеевка (Белгородская область)

Алматы

Алушта

Альметьевск

Амстердам

Анапа

Ангарск

Анталья

Апатиты

Арзамас

Армавир

Артём

Архангельск

Асбест

Асино

Астана

Астрахань

Ашхабад

Б

Байконур

Баку

Балаково

Балахна

Балашиха

Балашов

Бали

Барнаул

Барыш

Батайск

Бежецк

Белгород

Белебей

Белогорск

Белоярский

Березники

Берёзовский

Берлин

Бийск

Бишкек

Благовещенск

Благодарный

Бобруйск

Бодайбо

Бологое

Болхов

Бор

Борисоглебск

Боровск

Братск

Брянск

Бугульма

Будапешт

Буденновск

Бузулук

Бутурлиновка

Буффало

Бухара

В

Великие Луки

Великий Новгород

Верхнеуральск

Верхний Тагил

Верхний Уфалей

Верхняя Пышма

Верхняя Салда

Видное

Вильнюс

Вилючинск

Винница

Витебск

Владивосток

Владикавказ

Владимир

Волгоград

Волгодонск

Волгореченск

Волжский

Вологда

Володарск

Волоколамск

Вольск

Воркута

Воронеж

Ворсма

Воскресенск

Воткинск

Всеволожск

Выборг

Выкса

Вытегра

Вышний Волочек

Вязники

Вязьма

Вятские Поляны

Г

Гагарин

Гатчина

Геленджик

Георгиевск

Гётеборг

Глазов

Гомель

Горно-Алтайск

Городец

Гороховец

Грайворон

Гродно

Грозный

Грязи

Губкин

Губкинский

Гуково

Гулькевичи

Гусев

Д

Дальнереченск

Дедовск

Десногорск

Дзержинск

Димитровград

Дмитров

Днепр (Днепропетровск)

Долгопрудный

Домодедово

Донецк

Дубна

Дудинка

Дюртюли

Е

Евпатория

Егорьевск

Ейск

Екатеринбург

Елабуга

Елец

Еманжелинск

Ереван

Ессентуки

Ж

Железногорск

Железнодорожный

Жигулевск

Житомир

Жуковский

З

Забайкальск

Заволжье

Заозерск

Заполярный

Запорожье

Зарайск

Заречный

Звенигород

Зеленоград

Зеленодольск

Зеленокумск

Златоуст

Знаменск

Зубова Поляна

И

Иваново

Ивантеевка

Ижевск

Иланский

Инза

Инта

Иркутск

Исилькуль

Искитим

Истра

Ишим

Ишимбай

Й

Йошкар-Ола

К

Казань

Калачинск

Калининград

Калтан

Калуга

Каменск-Уральский

Каменск-Шахтинский

Каменское

Камышин

Канск

Караганда

Карпинск

Карши

Касимов

Каспийск

Качканар

Кашира

Кемерово

Керчь

Киев

Кимры

Кингисепп

Кинель-Черкассы

Кинешма

Кириши

Киров

Киселёвск

Кисловодск

Кишинев

Климовск

Клин

Клинцы

Ковров

Ковылкино

Когалым

Коломна

Колпино

Кольчугино

Комсомольск-на-Амуре

Конаково

Кондопога

Кондрово

Константиновск

Копейск

Кореновск

Коркино

Королёв

Костомукша

Кострома

Котельники

Котлас

Краков

Краматорск

Красногорск

Краснодар

Красное Село

Краснослободск

Красноуфимск

Красноярск

Красный Сулин

Кривой Рог

Кропивницкий

Кропоткин

Крымск

Кстово

Кубинка

Кузнецк

Кулебаки

Кумертау

Курган

Курск

Кушва

Кызыл

Кыштым

Л

Лабинск

Лангепас

Ленск

Лермонтов

Лесной

Ликино-Дулёво

Липецк

Лиски

Лобня

Лодейное Поле

Лондон

Луга

Луганск

Луховицы

Лыткарино

Львов

Любек

Люберцы

Людиново

М

Магадан

Магнитогорск

Майкоп

Малаховка

Малоярославец

Мариуполь

Маркс

Махачкала

Мегион

Межвежьегорск

Междуреченск

Миасс

Минеральные Воды

Минск

Минусинск

Мирный

Михайловка

Мичуринск

Могилёв

Мозырь

Молодечно

Монреаль

Москва

Московская Область

Муравленко

Мурманск

Муром

Мытищи

Мюнхен

Н

Набережные Челны

Навашино

Надым

Назарово

Нальчик

Наро-Фоминск

Нахабино

Находка

Невинномысск

Нерюнгри

Нефтекамск

Нефтеюганск

Нижневартовск

Нижнекамск

Нижний Новгород

Нижний Тагил

Николаев

Нововоронеж

Новокузнецк

Новомичуринск

Новомосковск

Новороссийск

Новосибирск

Новотроицк

Новочебоксарск

Новочеркасск

Новый Оскол

Новый Уренгой

Ногинск

Норильск

Ноябрьск

Нурлат

Нюрнберг

Нягань

Нязепетровск

О

Обнинск

Обухово

Одесса

Одинцово

Озерск

Октябрьский

Омск

Онега

Опочка

Орел

Оренбург

Орехово-Зуево

Орск

Орша

Островец

Оха

П

Павлово

Павловский Посад

Певек

Пенза

Первоуральск

Переславль-Залесский

Пермь

Петрозаводск

Петропавловск-Камчатский

Печора

Питкяранта

Пласт

Подольск

Подпорожье

Покачи

Покров

Полысаево

Полярный

Поронайск

Посёлок Афипский

Посёлок Ахтырский

Поселок Грибановка

Поселок Запрудня

Поселок Любучаны

Поселок Правдинский (Пушкинский район)

Поселок Раевский

Поселок Сабетта

Поселок Таксимо

Прокопьевск

Протвино

Прохладный

Псков

Пугачев

Пушкин

Пушкино

Пущино

Пыть-Ях

Пятигорск

Р

Райчихинск

Раменское

Ревда

Реутов

Речица

Ржев

Родники

Рославль

Россошь

Ростов-на-Дону

Ртищево

Рубцовск

Руза

Рыбинск

Рыбница

Рязань

С

Салават

Салехард

Сальск

Самара

Санкт-Петербург

Саранск

Сарапул

Саратов

Саров

Саяногорск

Свободный

Севастополь

Северобайкальск

Северодвинск

Североуральск

Северск

Сегежа

Село Дубовское (Ростовская область)

Село Кожевниково (Томская область)

Сергиев Посад

Серов

Серпухов

Сибай

Симферополь

Скопин

Славгород

Смоленск

Сморгонь

Советск

Советская Гавань

Соликамск

Солнечногорск

Сосновый Бор

Сочи

Среднеуральск

Ставрополь

Станица Гиагинская

Станица Динская

Станица Ильская

Станица Ленинградская

Станица Северская

Станица Холмская

Староминская

Старый Оскол

Стерлитамак

Струнино

Ступино

Суджа

Суздаль

Сургут

Сызрань

Сыктывкар

Сысерть

Т

Таганрог

Тамань

Тамбов

Ташкент

Таштагол

Тбилиси

Тверь

Темрюк

Тимашевск

Тирасполь

Тихвин

Тобольск

Тольятти

Томилино

Томск

Топки

Троицк

Туапсе

Туймазы

Тула

Тында

Тюмень

У

Удомля

Узловая

Улан-Удэ

Ульяновск

Урюпинск

Усинск

Уссурийск

pravda-sotrudnikov.ru

БПФ, ООО на Allbiz - Балашиха (Россия)

Компания BPF Group - международный поставщик луковичных, цветочных и овощных культур.

Мы работаем на российском рынке цветов с февраля 2010 года. Импортируем цветочную продукцию из Голландии, Эквадора, Колумбии, Кении, Израиля, Новой Зеландии и Чили, так же продаем российские цветы, экспортируем в 4 государства СНГ.

Компания BPF Group состоит из следующих подразделений:

BPF Bulbs - луковичные и овощные культуры

BPF Plants - растения открытого и закрытого грунта

BPF Flowers - свежесрезанные цветы оптом

BPF Retail - свежесрезанные цветы в розницу, аксессуары для профессионалов

BPF Cargo - доставка цветочных грузов со всего мира. Консолидация, логистика и таможенная очистка грузов

Миссия компании:

«Вывести цветочный рынок России и стран СНГ на европейский уровень.

Обеспечить импортозамещение цветочной продукции в РФ.»

Цель компании:

«Обеспечить рынок широким ассортиментом высококачественной продукцией по разумным ценам, удовлетворить нужды и потребности наших клиентов. Укрепить позиции компании на рынке ЕврАзЭс как надежного международного партнера.»

Компания BPF Group сотрудничает с ведущими голландскими производителями и экспортерами луковичных культур.

Тщательный контроль качества, который производится сотрудниками нашей компании при отправке грузов из Голландии, регулярные поставки и индивидуальный подход, помогают нам удовлетворить потребности самого требовательного клиента.

Складской комплекс, который отвечает всем международным требованиям, обеспечивает наличие большого ассортимента луковиц и сохраняет качество продукции длительное время.

BPF Bulbs - луковичные и овощные культуры из Голландии.

Весна: Лилии, георгины, каллы, многолетники, гладиолусы, лук-севок, пакетированные луковицы.

Осень: Тюльпаны, нарциссы, крокусы, рябчики, мускари, гиацинты, лук-севок, декоративный лук, пакетированные луковицы.

BPF Plants - растения открытого и закрытого грунта, горшечные растения.

BPF Flowers - срезанные цветы оптом из Голландии, Эквадор, Колумбия, Кения, Израиль, Новая Зеландия.

BPF Retail - мелкооптовые цветочные магазины и интернет магазин для владельцев цветочного бизнеса.

Наш первый оптово-розничный магазин BPF Retail расположен на Носовихинском шоссе, 3 км от МКАД. На двух этажах общей площадью 200 кв. метров представлен широкий ассортимент товаров для профессиональной флористики:

•Свежесрезанные цветы из Эквадора, Голландии и Колумбии.

•Флористические аксессуары для цветочного бизнеса.

•Луковицы цветов.

•Рассада и горшечные растения.

BPF Cargo - консолидация, логистика и доставка грузов.

Доставка грузов из Нидерландов.Компания BPFIora Cargo оказывает услуги по доставке и таможенной очистке цветочных грузов из Нидерландов на территорию РФ и стран СНГ. Наш опыт и крепкая команда профессионалов гарантируют качество и оперативность услуг транспортировки, логистики и хранения.

•Доставка цветочных грузов.

•Таможенная очистка грузов.

•Хранение грузов в Москве и Нидерландах.

•Доставка и отправка грузов по территории РФ и СНГ.

 

88313-ru.all.biz

ООО "БПФ" Оптовая торговля цветами и другими растениями

Полное наименование общества

Общество с ограниченной ответственностью "БПФ"

Сокращенное  наименование

ООО "БПФ"

Отрасль 

Оптовая торговля цветами и другими растениями

Юридический адрес

143985, область Московская, Балашиха, Новомилетское,владение 3,

Почтовый адрес

143985, область Московская, Балашиха, Новомилетское,владение 3,

Телефоны ООО "БПФ"

+7 (926) 1096820

Факс

ОКПО:

ИНН:

5001095389

ОГРН:

1135001005182

КПП:

500101001

Регион

Московская область

Карта ООО "БПФ"

143985, область Московская, Балашиха, Новомилетское,владение 3,

«ООО "БПФ"», краткая справка

Телефон: +7 (926) 1096820Сайт: Дата рагистрации ООО "БПФ": 14 Августа 2013гКлассификатор объектов административно-территориального деления ОКАТО: Основной государственный регистрационный номер ОГРН: 1135001005182Fax:

Редактировать организацию ООО "БПФ"

moskwa-reg.lexot.ru

BPF - Bulbs, Plants, Flowers

Компания BPF это:

  • Опыт работы более 6 лет
  • 15 267 тысяч клиентов в ЕАЭС
  • Экспорт/импорт в 20 стран мира
  • Самый большой каталог растений в мире - bpfgroup.ru
 

BPF*Bulbs, Plants, Flowers- один из ведущих поставщиков товаров для цветочного рынка. Мы поставляем луковицы в промышленной и индивидуальной упаковке, растения с открытой и закрытой корневой системой, цветочную продукцию, овощные культуры, горшечные растения и многое другое.

Мы стремимся к новым высотам и цифры говорят сами за себя. С момента основания компании, в 2010 году, средний ежегодный прирост продаж составляет 100%, этот тренд сохраняется даже в кризисные годы. Это говорит о высокой эффективности работы компании.

Миссия нашей компании – вывести цветочный рынок России и стран ЕАЭС на международный уровень.

BPF за время работы приобрела надежных партнеров по всему миру. Мы работаем с поставщиками из более чем 20 стран мира. Собственное направление доставки цветочных грузов «Azimut 90» обеспечивает бесперебойное снабжение всех подразделений BPF.

Клиентами компании являются тепличные комплексы, сетевые магазины, частные производители цветов, ландшафтные дизайнеры, садовые центры, оптовые и розничные компании, а также крупные государственные структуры.

Ценности нашей компании это - качество поставляемой продукции, лучший сервис по обслуживанию клиентов, выгодная цена и репутация компании.

С 2015 года мы начали выращивать более полутора миллионов тюльпанов к 8 марта, а с 2016 года вся продукция BPF доступна в крупных розничных сетях.

Мы предлагаем своим клиентам полный спектр услуг «под ключ», сопровождая и консультируя на всех этапах работы. Подбор наиболее подходящих под конкретные задачи сортов, поиск надежных поставщиков, таможенное оформление и доставка выбранного товара. Выбирая сотрудничество с BPF, Вы выбираете надежность, качество и пунктуальность!

И еще о нас:

Видео с генеральным директором на ОТР "Сделано в России: цветочный бизнес" 

http://www.otr-online.ru/programmi/segodnya-v-rossii-27580/sdelano-v-rossii-43418.html

 

Эфиры на радио Комсомольская Правда:

http://www.beta.dev.kompravda.eu/daily/26511/3380757/

http://www.kp.ru/radio/26511/3515487/

about-job.ru

ООО "БПФ" Оптовая торговля цветами и другими растениями

Полное наименование общества

Общество с ограниченной ответственностью "БПФ"

Сокращенное  наименование

ООО "БПФ"

Отрасль 

Оптовая торговля цветами и другими растениями

Юридический адрес

143985, область Московская, Балашиха, Новомилетское,владение 3,

Почтовый адрес

143985, область Московская, Балашиха, Новомилетское,владение 3,

Телефоны ООО "БПФ"

+7 (926) 1096820

Факс

ОКПО:

ИНН:

5001095389

ОГРН:

1135001005182

КПП:

500101001

Регион

Московская область

Карта ООО "БПФ"

143985, область Московская, Балашиха, Новомилетское,владение 3,

«ООО "БПФ"», краткая справка

Телефон: +7 (926) 1096820Сайт: Дата рагистрации ООО "БПФ": 14 Августа 2013гКлассификатор объектов административно-территориального деления ОКАТО: Основной государственный регистрационный номер ОГРН: 1135001005182Fax:

Редактировать организацию ООО "БПФ"

www.primorsk-rtg.lexot.ru

С чего начать фом флористу новичку

Шаг 1

Я создаю цветы уже 3 года и сейчас хочу помочь тем кто только начинает.

Эти нежные, прекрасные цветы выглядят как живые. Они такие приятные на ощупь, и в то же время  устойчивые к касаниям и легкие. 

В магазинах огромное разнообразие этого волшебного материала, но стоит помнить что его используют не только для цветов.

Из фома( он же фом эва, фоам, фоамиран, пластичная замша) так же создают кукол, украшения, его используют в скрапбукинге.

Для цветов выбираем фоам толщиной не больше 1мм. Если вы найдете 0,5мм, будет очень здорово. Эта информация указана на этикетке производителя.

Вы встретите толстые, блестящие, пушистые или с рисунком фомы, но они в основном используются для кукол. 

Шаг 2

Выбираем цвета.

Фом флористика достаточно затратное хобби. И чтоб вам было проще начать  предлагаю взять только самое нужное. Сразу отсеиваем яркие цвета, они в таком объеме вам пока совершенно ни к чему.  Универсальным будет белый или молочный фоам, его можно тонировать в любой другой. А так же зеленый, самый подходящий - оливковый. Его легко можно сделать темнее или оттенить другими цветами.Шаг 3

Краски для фома очень много. Пастель сухая и масляная, акрил, масло.

Масло не наш вариант, оно долго сохнет. дорого стоит и с ним нужно уметь работать.

Акрил - с ним труднее работать. цветочки от него становятся более жесткими и к  этому надо привыкнуть.

Советую начать с пастели

Берем пастель. Для начала сухую.  НО цвет у нее матовый и возможно сразу вам захочется взять и масляную пастель. Будьте осторожны выбирайте мягкую масляную пастель. Например Сонет вам НЕ подойдет.

Не берите сразу пачку если есть возможность возмите пару нужных вам цветов обязательно темно зеленый. 

Шаг 4

Прочие надобности.

Молды - формы придающие листу фактуру. Нам пока не нужны. Если сильно хотите возьмите универсальный лист и лепесток розы. Они подходят к большинству цветов.

Круглогубцы - просто с ними быстрее и проще.

Клей - важно, начните с клея момент. По возможности попробуйте космофен.

Фолористическая проволока - нужна толщиной 0,4-0,6 мм. Для стеблей.

Тейп лента - берем под цвет нашего зеленого, или самый нейтральный зеленый. Берем тонкую, у меня 1,5 см шириной. Шире будет неудобно.

Тычинки мне не пригодились. и если сильно надо их можно сделать самим.

Проволока для бисера - нужна очень редко. ее можно и не брать

Ножницы нужны очень хорошие, от них многое зависит. Очень помогают в работе маникюрные загнутые ножницы но в любом случае лезвие должно быть тонким и заточены а крепление надежным.

Шаг 5

И так вот наш минимум:

- Фоам 0,5мм белый и оливковый,- Ножницы - тонкие и маникюрные,- Пастель сухая,- Клей момент,- Флористическая проволока,- Тейп лента.

Вот и все, с этим набором можно создавать великолепные цветы ручной работы. Надеюсь что вскоре и ваши прекрасные творения украсят чью-то жизнь.

rukodelion.com

Лабораторная работа №1 (ДПФ, БПФ)

Лабораторная работа №1

Преобразование Фурье

1. Цель работы

Изучение преобразования Фурье и его основных свойств, а также методики получения быстрого преобразования Фурье (БПФ).

2. Теоретические сведения

Ортогональные функции

Для лучшего понимания вопроса о рядах Фурье дадим определение ортогональным функциям. Множество непрерывных функций действительного переменного называется ортогональным на интервале, если

(1.1)

При множество{Un(t)} называется ортонормированным.

Ряд Фурье

Для теории формирования и обработки сигнала особое значение имеет возможность разложения заданного в виде функции сигнала по различным ортогональным системам функций.

Впервые в 1807 году французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье показал, что любую произвольную функцию можно представить в виде бесконечной суммы синусных и косинусных членов:

, (1.2)

где (рад/с) – основная угловая частота, которая связана с периодомT функции соотношением . Частотыназывают гармониками, так как они кратны основной частоте. В данном случае речь идет о системе ортогональных функций вида.

Коэффициенты {a0, an, bn} из формулы (1.2) можно вычислить с учетом ортогональности множества функций {cos n0t, sin n0t} на периоде T:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

С учетом этих соотношений:

(1.6)

(1.7)

. (1.8)

Раздел математики, устанавливающий соотношение между функцией и коэффициентамии, называется гармоническим анализом, а представление (1.2) – рядом Фурье.

Компоненты ряда Фурье называются гармониками. Любая четная функция может быть разложена в ряд Фурье, состоящий из косинусов, а любая нечетная функция раскладывается в ряд из синусов. Для некоторых функций ряд Фурье может состоять лишь из нечетных гармоник.

В целом, любая полная система ортогональных функций может быть применена для разложения в ряды, которые соответствуют рядам Фурье. Например, часто используется разложение в ряды по функциям Уолша, Хаара, Лагерра, Бесселя и т.д.

Семейство преобразований Фурье

Преобразование Фурье (Fourier transform) – это разложение функций на синусоиды (далее косинусные функции также будем называть синусоидами, т.к. они отличаются от «настоящих» синусоид только фазой). Анализ Фурье закладывает основы многих методов, применяющихся в цифровой обработке сигналов и изображений (ЦОСиИ). По сути, преобразование Фурье (ПФ) позволяет сопоставить сигналу, заданному во временной области, его эквивалентное представление в частотной области. Обратно, если известна частотная характеристика сигнала, то обратное преобразование Фурье позволяет определить соответствующий сигнал во временной области.

Семейство преобразований Фурье (преобразование Фурье, ряды Фурье, дискретные ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье) представлено на рис. 1.1 – 1.4.

Рис. 1.1. Преобразование Фурье: сигнал непрерывный и апериодический

Рис. 1.2. Ряды Фурье: сигнал непрерывный и периодический

Рис. 1.3. Дискретные ряды Фурье: сигнал дискретный и апериодический

Рис. 1.4. Дискретное преобразование Фурье:

(дискретные ряды Фурье) сигнал дискретный и периодический

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Из описанного семейства преобразований к цифровой обработке сигналов и изображений имеет отношение дискретное преобразование Фурье, которое оперирует дискретной по времени выборкой периодического сигнала во временной области. Для того, чтобы быть представленным в виде суммы синусоид, сигнал должен быть периодическим. Но в качестве набора входных данных для ДПФ доступно только конечное число отсчетов (N) рис. 1.

Основная идея ДПФ ни чем не отличается от ПФ (см. рис. 1.5).

Рис. 1.5. Основная идея ДПФ

Для получения представления x(t) (1.2) рядом Фурье в комплексной форме необходимо использовать соотношения в виде формулы Эйлера:

;

; . (1.9)

Тогда

(1.10)

Введем коэффициент

.

Тогда

или ;

. (1.11)

Следовательно,

;

;

. (1.12)

Таким образом, если {X(m)} означает последовательность X(m) конечных действительных или комплексных чисел, где , то дискретное преобразование Фурье этой последовательности определяется как

, где ,, , (1.13)

. (1.14)

Выражения (1.13), (1.14) составляют пару преобразований Фурье.

Функции W km являются N-периодическими, т.е. W km=W (k+N)m=W k(m+N).

Следовательно, последовательности {Cx(k)}, {X(m)} также являются N-периодическими, т.е.

Рассмотрим основные свойства дискретного преобразования Фурье:

а) теорема линейности: дискретное преобразование Фурье является линейным, т.е. если ,и, то;

б) теорема комплексной сопряженности: если {X(m)}={X(0), X(1),… ,X(N-1)} – такая последовательность действительных чисел, что N/2 – целое число и X(m)Cx(k), то

. (1.15)

Из (1.13) следует, что гдеW=e-i2/N.

Тогда, подставляя вместо k – (N/2+l), будем иметь

т.к. WNm=-1.

в) теорема сдвига: если Z(m)Cz(k)иZ(m)=X(m+h), , то

Cz(k)=W -khCx(k). (1.16)

Доказательство:

Z(m)Cz(k), т.е. ,.

С учетом подстановки Z(m)=X(m+h), будем иметь .

Осуществляя замену переменных m+h=r, указанное соотношение будет иметь вид .

Так как

,

, когда p и q удовлетворяют условию

|p-q|=N-1, то Cz(k)=W -khCx(k).

Аналогично при Z(m)=X(m-h) , Cz(k)=W khCx(k).

Можно выделить следующие области применения ДПФ:

  • цифровой спектральный анализ

    • анализаторы спектра

    • обработка речи

    • обработка изображений

    • распознавание образов

  • проектирование фильтров

  • быстрое преобразование Фурье (БПФ) – простой алгоритм для эффективного вычисления ДПФ.

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (ДПФ)

  • Периодический сигнал может быть разложен на сумму выбранных должным образом косинусоидальных и синусоидальных функций (Жан Батист Жозеф Фурье, 1807).

  • ДПФ работает с конечным числом (N) оцифрованных по времени отсчетов X(m). Когда эти группы отсчетов повторяются, они становятся периодическими с точки зрения преобразования.

  • Комплексный спектральный выход ДПФ C(k) является результатом свертки входных отсчетов с базисными функциями синуса и косинуса.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

Быстрое преобразование Фурье (FFT) является не более, чем алгоритмом для ускоренного вычисления ДПФ путем сокращения требуемого числа операций умножения и сложения. Данное преобразование было предложено в 1960-ых годах. Алгоритм быстрого преобразования Фурье значительно сокращает количество арифметических операций и объем памяти, необходимой для вычисления ДПФ. ДПФ может быть сильно упрощено, если использовать свойства симметрии и периодичности коэффициентов поворота.

При вычислении N-точечного ДПФ требуется вычислений с комплексными числами, а при реализацииN-точечного БПФ вычислений с комплексными числами. Вычислительная эффективность БПФ по сравнению с ДПФ становится весьма существенной, когда количество точек БПФ увеличивается до нескольких тысяч (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Эффективность БПФ

N

Умножений при ДПФ

Умножений при БПФ

Эффективность БПФ

256

65 536

1 024

64 :1

512

262 144

2 304

114 :1

1 024

1 048 576

5 120

205 :1

2 048

4 194 304

11 264

372 :1

4 096

16 777 216

24 576

683 :1

Если необходимо рассчитать только несколько точек спектра, ДПФ может быть более эффективным. Вычисление одного выходного отсчета спектра с использованием ДПФ требует только N умножений с комплексными числами.

Мы будем предполагать далее, что N=2n. При этом общность не теряется, так как N выбирается достаточно большим для того, чтобы удовлетворять теореме дискретизации Котельникова, т.е.

N  2BT,

где B – полоса частот сигнала x(t); T – его длительность.

Теорема Котельникова-Найквиста-Шеннона: если сигнал таков, что его спектр ограничен частотой F, по после дискретизации сигнала с частотой не менее 2F можно восстановить непрерывный сигнал по полученному цифровому сигналу абсолютно точно. Для этого нужно проинтерполировать цифровой сигнал «между отсчетами» специального вида функциями.

Рассмотрим случай вещественно-значной последовательности {X(m)} при N=8. Из свойства комплексной сопряженности ДПФ следует, что

; .

Тогда

; ;

W=e-i2/8=e-i/4;

. (1.17)

Используя свойство N-периодичности экспонент, для N=8 матрица будет иметь вид

.

Из свойства симметрии экспоненциальных функций следует, что

Wk+N/2=-Wk, где .

То есть W4=-W0;

W5=-W1;

W6=-W2;

W7=-W3.

Тогда матрица F будет иметь вид

.

Используя двоичную инверсию (перестановку) строк,

(0,1,2,3,4,5,6,7) (0,4,2,6,1,5,3,7) будем иметь

=

=. (1.18)

В свою очередь, матрицы A11 и B11 можно представить в виде, где верхний индекс представляет собой номер шага процедуры БПФ

(1.19)

Подставляя выражения для A11 и B11 в (1.18) получим

;

;

;

. (1.20)

Наконец, на последнем шаге получим

(1.21)

Описанный алгоритм удобно представить графически (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Граф-схема быстрой процедуры вычисления коэффициентов преобразования Фурье

Для определения степеней W на одном шаге необходимо выразить последовательность l=0, 1, 2, …, N/2-1 в виде (n-1) – разрядных двоичных последовательностей. В результате для N=16, к примеру, получим множество

S1=(000,001,010,011,100,101,110,111).

Для получения S2 необходимо выполнить двоичную инверсию каждой (n-1)-разрядной последовательности множества S1, т.е.

S2=(000,100,010,110,001,101,011,111),

и записать двоичную последовательность в виде десятичных чисел

S3=(0,4,2,6,1,5,3,7),

и таким образом имеем W0, W4, W2, W6, W1, W5, W3, W7. (табл. 1.2).

Итерация r для БПФ состоит из 2r-1групп, где (N=2n). Для N=16, .

Таблица 1.2

Значения степени W

Номер итерации

Степени W (N=16)

1

W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0

2

W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W0 W4 W4 W4 W4 W4 W4 W4 W4

3

W0 W0 W0 W0 W4 W4 W4 W4 W2 W2 W2 W2 W6 W6 W6 W6

4

W0 W0 W4 W4 W2 W2 W6 W6 W1 W1 W5 W5 W3 W3 W7 W7

Первый элемент первой строки таблицы равен нулю. Последующие первые элементы каждой из строк определяются как ns=N/2s , где ,N=2n. Каждая k строка таблицы получается прибавлением элемента nk-1 к каждому элементу предыдущих строк. Тогда таблица будет иметь вид

0

n1

n2 (n1+n2)

n3 (n1+n3) (n2+n3) (n1+n2+n3)

n4 (n1+n4) (n2+n4) (n1+n2+n4) …

.

.

nk …

Требуемая последовательность Ln, соответствующая двоичной инверсии, определяется как Ln=(0, n1, n2, (n1+n2), n3, (n1+n3), …, nk, …). В качестве примера рассмотрим случай для N=16. Тогда n1=8, n2=4, n3=2, n4=1, т.е. таблица будет иметь вид

0

8

4 12

2 10 6 14

1 9 5 13 3 11 7 15

Ln=(0,8,4,12,2,10,6,14,1,9,5,13,3,11,7,15).

Для обработки исходных данных (которые предполагаются комплексными) с помощью алгоритма БПФ требуется 2N ячеек оперативной памяти. Поэтому выходной массив может храниться в тех же ячейках памяти, что и исходный массив. Процедура перестановки данных может потребовать дополнительно 2N ячеек памяти. Таким образом, для алгоритма БПФ необходимо примерно 4N ячеек. В противоположность этому прямой метод требует приблизительно 2N2ячеек памяти, т.к. необходимо запомнить N2 значений степеней W.

В общем виде матрицу преобразования Фурье в факторизованной форме можно представить как

. (1.22)

Для N=8 , где;I4 – единичная матрица размерностью 44; D1– диагональная матрица с элементами W0;

.

D2-диагональная матрица с элементами W0, W2:

;

; .

Факторизованная форма – это такая форма, когда в каждой строке матрицы, являющейся множителем, присутствует не более 2 значащих элементов, а остальные равны нулю.

Из вышесказанного следует сделать вывод о том, что при реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления последовательности отсчетов на части (прореживание по времени либо по частоте) и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге (основание БПФ).

Алгоритм БПФ (FFT) с прореживанием по времени (decimation-in-time, DIT)

Рис. 1.7. Граф-схема алгоритма БПФ с прореживанием по времени

Рис. 1.8. Операция «бабочка» в алгоритме БПФ с прореживанием по времени

Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени можно выразить следующим образом.

АЛГОРИТМ БПФ(a, N, dir)

{

  1. Если длина вектора равна 1, вернуть a.

  2. Разбить вектор a на четную часть aчет = (a0,a2,…,aN-2)

и нечетную aнечет = (a1,a3,…,aN-1).

  1. Рекурсивно вызвать БПФ на каждой из частей

bчет = БПФ(aчет)

bнечет = БПФ(aнечет)

  1. Объединение результатов.

  1. (инициализация) Присвоить значение главного комплексного корня N-й степени из единицы

  1. (инициализация) Присвоить

  2. В цикле вычислить левую и правую часть одновременно:

for( j=0; j < N/2; j++)

{

}

  1. Вернуть вектор y.

}

При реализации алгоритма БПФ с прореживанием по времени происходит разбиение вектора на две части – четную и нечетную, после чего выполняется операция бабочка.

Ниже изображено дерево рекурсий, рис. 1.9. Каждый уровень, начиная снизу, соответствует проходу алгоритма по всему вектору и объединению сначала одиночных элементов в пары, затем пар в четверки и так далее до конца. Обратите внимание на то, что порядок индексов на верхнем уровне не соответствует нижнему. Это естественно, если учесть, что нечетные индексы после бабочки идут в правую половину вектора, а четные – в левую.

studfiles.net